Под знаком корня может быть отрицательное число

Ответы@pelicomphy.tk: Может ли быть под корнем отрицательное число?

под знаком корня может быть отрицательное число

Квадратный корень (арифметический квадратный корень) из число или выражение под знаком корня должно быть неотрицательным! .. Очевидно, что расстояние не может быть отрицательным, получаем, что c = 2 c=\sqrt{2} . Эта статья про корень из числа: даны определения квадратного, кубического корней и корня n-ой степени, показаны обозначения, приведены примеры. Это значит, что он может быть равен либо положительному числу, либо Как известно, модуль числа — это его абсолютное значение, без учета знака. Если записать отрицательное число с корнем как –2 + √2, то понятно.

Например, в записи число — это подкоренное число, а в записи выражение a является подкоренным выражением. В свете введенного обозначения из определения арифметического квадратного корня следует, что и для любого неотрицательного числа a. Квадратные корни из положительного числа a с помощью знака арифметического квадратного корня записываются как.

Например, квадратные корни из числа 13 есть. Арифметический квадратный корень из нуля равен нулю, то есть. Для отрицательных чисел a записи мы не будем придавать смысла вплоть до изучения комплексных чисел. Например, лишены смысла выражения и На базе определения квадратного корня доказываются свойства квадратных корнейкоторые часто применяются на практике. Нахождение квадратных корней заслуживает детального изучения, этой теме посвящена отдельная статья извлечение квадратных корней.

К началу страницы Кубический корень из числа Определение кубического корня из числа a дается аналогично определению квадратного корня. Только оно базируется на понятии куба числа, а не квадрата.

Определение Кубическим корнем из числа a называется число, куб которого равен a. Приведем примеры кубических корней. Можно показать, что кубический корень из числа a, в отличие от квадратного корня, всегда существует, причем не только для неотрицательных a, но и для любого действительного числа a.

Для этого можно использовать тот же способ, о котором мы упоминали при изучении квадратного корня. Более того, существует только единственный кубический корень из данного числа a. Для этого отдельно рассмотрим три случая: Легко показать, что при положительном a кубический корень из a не может быть ни отрицательным числом, ни нулем. Итак, кубический корень из положительного числа a является положительным числом.

Теперь предположим, что помимо числа b существует еще один кубический корень из числа a, обозначим его c. Этим доказана единственность кубического корня из положительного числа a. Для отрицательных a можно привести рассуждения, аналогичные случаю для положительных a. Во-первых, показываем, что кубический корень из отрицательного числа не может быть равен ни положительному числу, ни нулю.

Во-вторых, предполагаем, что существует второй кубический корень из отрицательного числа и показываем, что он обязательно будет совпадать с первым. Итак, всегда существует кубический корень из любого данного действительного числа a, причем единственный. Дадим определение арифметического кубического корня. Определение Арифметическим кубическим корнем из неотрицательного числа a называется неотрицательное число, куб которого равен a.

Корень n-ой степени: определения, обозначение, примеры

Арифметический кубический корень из неотрицательного числа a обозначается какзнак называется знаком арифметического кубического корня, число 3 в этой записи называется показателем корня. Число под знаком корня — это подкоренное число, выражение под знаком корня — это подкоренное выражение.

Хотя арифметический кубический корень определяется лишь для неотрицательных чисел a, но удобно также использовать записи, в которых под знаком арифметического кубического корня находятся отрицательные числа. Понимать их будем так: О свойствах кубических корней мы поговорим в общей статье свойства корней. Вычисление значения кубического корня называется извлечением кубического корня, это действие разобрано в статье извлечение корней: Корень n-ой степени, арифметический корень степени n Обобщим понятие корня из числа — введем определение корня n-ой степени для натуральных чисел n.

Определение Корень n-ой степени из числа a — это число, n-я степень которого равна a. То есть, квадратный корень — это корень второй степени, а кубический корень — корень третьей степени.

под знаком корня может быть отрицательное число

Это связано с тем, что корни четных степеней аналогичны квадратному корню, а корни нечетных степеней — кубическому. Разберемся с ними по очереди. Начнем с корней, степенями которых являются четные числа 4, 6, 8, … Как мы уже сказали, они аналогичны квадратному корню из числа a. То есть, корень любой четной степени из числа a существует лишь для неотрицательного a. Первые два равенства означают, что числа b и c равны или b и c — противоположны.

Что касается корней n-ой степени при нечетных n, то они аналогичны кубическому корню. То есть, корень любой нечетной степени из числа a существует для любого действительного числа a, причем для данного числа a он является единственным.

Корень из числа: определения, примеры

Подобная проблема возникает у всех корней с чётным показателем: Так мы избавляемся от неоднозначности. Кубическая парабола принимает любые значения, поэтому кубический корень извлекается из любого числа Из этого графика можно сделать два вывода: Ветви кубической параболы, в отличие от обычной, уходят на бесконечность в обе стороны — и вверх, и.

Поэтому на какой бы высоте мы ни проводили горизонтальную прямую, эта прямая обязательно пересечётся с нашим графиком. Именно поэтому определение корней для нечётной степени проще, чем для чётной отсутствует требование неотрицательности. Жаль, что эти простые вещи не объясняют в большинстве учебников.

под знаком корня может быть отрицательное число

Вместо этого нам начинают парить мозг всякими арифметическими корнями и их свойствами. Да, я не спорю: И я подробно расскажу об этом в отдельном уроке. Но сначала надо чётко усвоить то определение, которое я дал выше. Иначе из-за обилия терминов в голове начнётся такая каша, что в итоге вообще ничего не поймёте.

А всего-то и нужно понять разницу между чётными и нечётными показателями. Поэтому ещё раз соберём всё, что действительно нужно знать о корнях: Корень чётной степени существует лишь из неотрицательного числа и сам всегда является неотрицательным числом. Для отрицательных чисел такой корень неопределён. А вот корень нечётной степени существует из любого числа и сам может быть любым числом: Поэтому сейчас мы немного потренируемся с вычислениями.

под знаком корня может быть отрицательное число

Основные свойства и ограничения У корней много странных свойств и ограничений — об этом будет отдельный урок. Запишем это свойство в виде формулы: О ней постоянно талдычат учителя, её дают в каждом школьном учебнике. Но как только дело доходит до решения иррациональных уравнений то есть уравнений, содержащих знак радикалаученики дружно забывают эту формулу.

Чтобы детально разобраться в вопросе, давайте на минуту забудем все формулы и попробуем посчитать два числа напролом: Первый пример решит большинство людишек, а вот на втором многие залипают. Чтобы без проблем решить любую подобную хрень, всегда учитывайте порядок действий: Сначала число возводится в четвёртую степень. Ну, это как бы несложно. Получится новое число, которое даже в таблице умножения можно найти; И вот уже из этого нового числа необходимо извлечь корень четвёртой степени.

Раберёмся с первым выражением: Очевидно, что сначала надо посчитать выражение, стоящее под корнем: Дальше вновь извлекаем корень: В противном случае корень не определён. Потому что если под корнем стоит отрицательное число, а его показатель является чётным, мы получим кучу проблем. Впрочем, все эти проблемы актуальны лишь для чётных показателей.

Квадратный корень. Начальный уровень.

Вынесение минуса из-под знака корня Естественно, у корней с нечётными показателями тоже есть своя фишка, которой в принципе не бывает у чётных. Теперь не нужно переживать: И вот тут на сцену выходит ещё одно определение — то самое, с которого в большинстве школ и начинают изучение иррациональных выражений.

И без которого наши рассуждения были бы неполными. Арифметический корень Давайте предположим на минутку, что под знаком корня могут находиться лишь положительные числа или в крайнем случае ноль.

Как видим, нас больше не интересует чётность. Взамен неё появилось новое ограничение: Чтобы лучше понять, чем арифметический корень отличается от обычного, взгляните на уже знакомые нам графики квадратной и кубической параболы: Больше не нужно смотреть на показатель, чтобы понять: Потому что отрицательные числа больше в принципе не рассматриваются.

Например, правило возведения в степень: Почему мы не могли сделать это раньше? Как одно и то же число может быть и положительным, и отрицательным? Просто формула возведения в степень, которая прекрасно работает для положительных чисел и нуля, начинает выдавать полную ересь в случае с отрицательными числами.

Вот для того, чтобы избавиться от подобной неоднозначности, и придумали арифметические корни. Им посвящён отдельный большой урок, где мы подробно рассматриваем все их свойства. Так что сейчас не будем на них останавливаться — урок и так получился слишком затянутым.

Квадратный корень. Подробная теория с примерами.

В итоге решил оставить. Это называется алгебраическим корнем.

The freezing of the soil under the Foundation

Для таких корней нет устоявшегося обозначения, поэтому просто поставим чёрточку сверху: